CN 2011 Matemática - Questões

Seja ABC um triângulo com lados $AB=15, AC=12$ e $BC=18$. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que $PC=3AP$. Tomando Q sobre BC, entre B e C, tal que a área do quadrilátero APQB seja igual a área do triângulo PQC, qual será o valor de BQ?

Sejam $p(x)=2x^{2010}-5x^2-13x+7$ e $q(x)=x^2+x+1$. Tomando $r(x)$ como sendo o resto na divisão de $p(x)$ por $q(x)$, o valor de $r(2)$ será

Tem-se o quadrado de vértices ABCD com lados medindo $'k'\text{cm}$. Sobre AB marca-se M, de modo que $AM=\dfrac{BM}{3}$. Sendo $N$ o simétrico de B em relação ao lado CD, verifica-se que MN corta a diagonal AC em P. Em relação à área ABCD, a área do triângulo PBC equivale a:

No conjunto dos inteiros positivos sabe-se que $a$ é primo com $b$ quando $\text{MDC}\ (a,b)=1$.

Em relação a este conjunto, analise as afirmativas a seguir.

1. I. A fatoração em números primos é único.
   

2. II. Existem $8$ números primos com $24$ e menores que $24$.
   

3. III. Se $(a+b)^2=(a+c)^2$ então $b=c$.
   

4. IV. Se $a

Quantas das afirmativas acima são verdadeiras?

Estudando os quadrados dos números naturais, um aluno conseguiu determinar corretamente o número de soluções inteiras e positivas da equação $5x^2+11y^2=876543$. Qual foi o número de soluções que este aluno obteve?