CN 2010 - Questões

Os números $\dfrac{4x}{2-x}$ e $\dfrac{2-x}{4x}$ são inteiros e positivos, com $x\in\mathbb{R} - \left\{0;\ 2\right\}$. Nessas condições, pode-se concluir que:

Em um trapézio isósceles $ABCD$, de base maior $\overline{AB}$, está inscrito um arco de circunferência $\widehat{AMB}$, onde $M$ é o ponto médio da base menor $\overline{CD}$. O ângulo $\hat{DBC}$, formado pela diagonal $\overline{BD}$ e pelo lado $\overline{BC}$ desse trapézio, mede $50^\circ$ e o ângulo $\hat{DBA}$ mede $10^\circ$. Qual é a razão entre as medidas da base $\overline{AB}$ e do comprimento do arco $\widehat{AMB}$, sabendo-se que os lados congruentes desse trapézio são tangentes ao arco $\widehat{AMB}$ nos pontos $A$ e $B$?

Sabe-se que: o número natural $K$ divido pelo número natural $A$ dá quociente $56$ e resto zero; $K$ dividido pelo número natural $B$ dá quociente $21$ e resto zero; e os algarismos de $A$ são os mesmos de $B$ e ambos possuem dois algarismos, porém em ordem inversa. A soma dos algarismos de $K$ é igual a

Analise as afirmativas a seguir.

1. I. $\left(3^{0,333...}\right)^{27} = \left(\sqrt[3]{3}\right)^{3^3}$
   

2. II. $\left(2 + \sqrt{3}\right)^{-1} = 2 - \sqrt{3}$
   

3. III. $10^{3k}$ tem $(3k + 1)$ algarismos, qualquer que seja o número natural $k$.
   

Assinale a opção correta.

O triângulo de lados $0,333...\ \text{cm}$, $0,5\ \text{cm}$ e $0,666...\ \text{cm}$ é equivalente ao triângulo isósceles de base $0,333...\ \text{cm}$ e lados congruentes medindo $x$ centímetros cada um. Com base nos dados apresentados, é correto afirmar que $x$ é igual a