CN 2006 Matemática - Questões

Num triângulo $ABC, \ AB=AC$, o ponto $D$ interno ao lado $AC$ é determinado de modo que $DC=BC$. Se o ângulo $ABD$ mede $12^\circ$, qual a medida, em graus, do ângulo $BAC$?

Sejam os conjuntos $A=\left\{1,\ 3,\ 4\right\},\ B=\left\{1\ ,2,\ 3\right\}$ e $X$. Sabe-se que qualquer subconjunto de $A$ intersecção $B$ está contido em $X$, que por sua vez é subconjunto de $A$ união $B$. Quantos são os possíveis conjuntos $X$?

Três dos quatro lados de um quadrilátero circunscritível são iguais aos lados do triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular circunscritos a um círculo de raio $6$. Qual é a medida do quarto lado desse quadrilátero, sabendo-se que é o maior valor possível nas condições dadas?

Um círculo $\alpha$ de centro num ponto $A$ e raio $2\sqrt{3}$ é tangente interior, num ponto $B$, a um círculo $\beta$ de centro num ponto $O$ e raio $6\sqrt{3}$. Se o raio $\overline{OC}$ é tangente a $\alpha$ num ponto $D$, a medida da área limitada pelo segmento $\overline{DC}$ e os menores arcos $\widehat{BC}$ de $\beta$ e $\widehat{BD}$ de $\alpha$ é igual a

As raízes do trinômio do $2^\circ$ grau $y=ax^2+bx+c$ são 1000 e 3000. Se quando $x$ vale 2010 o valor numérico de $y$ é 16, qual é o valor numérico de $y$ quando $x$ vale 1990?