Em um triângulo equilátero $(\Delta )$, com vértices $A$, $B$ e $C$, marca-se os pontos médios $D$, $E$ e $F$ dos segmentos $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$, respectivamente. Dos segmentos $\overline{DE}$, $\overline{DF}$ e $\overline{EF}$, marca-se, novamente, os pontos médios $H$, $I$ e $G$. Sabendo que a área da figura plana formada pelos segmentos $\overline{HI}$, $\overline{HG}$ e $\overline{IG}$ é $25\sqrt{3}c{m}^2$, assinale a opção que apresenta a quantidade de item ou itens INCORRETO(S).

$I-$ A razão entre a altura $(x)$ da figura plana formada pelos segmentos $\overline{HI}$, $\overline{HG}$ e $\overline{IG}$ e a altura $(X)$ do triângulo formado pelos segmentos $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ é igual a $\frac{1}{4}$.

$II-$ A soma dos perímetros $(\Delta )ABC$, $(\Delta )DEF$ e $(\Delta )HIG$ é um múltiplo de $7$.

$III-$ O lado do $(\Delta )HIG$ vale $25cm$.

$IV-$ A área do $(\Delta )BDF$ é quatro vezes maior que a área do $(\Delta )ADE$.