Na figura abaixo, $O$ é o ponto de encontro das bissetrizes do $\Delta ABC$ e centro da circunferência $\sigma$. Sabendo que o $\widehat{BOC}$ é o dobro de $\widehat{BAC}$ e que $\overline{PQ}=10\sqrt{3}$, qual é o comprimento $\widehat{PQ}$?