Resolvendo-se o sistema

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\cdot y\cdot z=\frac{8}{3}\\ x\cdot \sqrt{y}\cdot z=\frac{4\sqrt{2}}{3}\\ x\cdot y\cdot \sqrt{z}=\frac{16\sqrt{2}}{27}\end{array}$$

tem-se que $\frac{x+y+z}{x\cdot y\cdot z}$ é igual a