Os valores de $k$, para que o sistema abaixo não tenha solução real, são os $2$ primeiros termos de uma progressão aritmética $(PA)$ de termos crescentes.

$$\{\begin{array}{l}x-y+z=2\\ \\ 3x+ky+z=1\\ \\ -x+y+kz=3\end{array}$$

Então, nessa $PA$, o logaritmo na base $\sqrt{3}$ do quadragésimo terceiro termo é