O $GPS$ (Global Positioning System) consiste em um conjunto de satélites que orbitam a Terra, cada um deles carregando a bordo um relógio atômico. A Teoria da Relatividade Geral prevê que, por conta da gravidade, os relógios atômicos do $GPS$ adiantam com relação a relógios similares na Terra. Enquanto na Terra transcorre o tempo de um dia ($t_{\text{Terra}}=1,0dia=86.400s$ ), no satélite o tempo transcorrido é $t_{\text{sateˊlite}}=t_{\text{Terra}}+\mathrm{\Delta }t$, maior que um dia, e a diferença de tempo $\Delta$t tem que ser corrigida. A diferença de tempo causada pela gravidade é dada por:

$$\frac{\Delta t}{t_{\text{Terra}}}=\frac{\Delta U}{m{c}^2}$$

sendo $\Delta U$ a diferença de energia potencial gravitacional de uma massa $m$ entre a altitude considerada e a superfície da Terra, e $c=3,0\times {10}^{8}m/s$, a velocidade da luz no vácuo.

1. a) Para o satélite podemos escrever: $$\Delta U=m\cdot g\cdot R_T\cdot \left(1-\frac{R_T}{r}\right)$$ sendo $r\approx 4R_T$ o raio da órbita, $R_T=6,4\times {10}^{6}m$ o raio da Terra e $g$ a aceleração da gravidade na superfície terrestre. Quanto tempo o relógio do satélite adianta em $t_{Terra}=1,0$ dia em razão do efeito gravitacional?
   

2. b) Relógios atômicos em fase de desenvolvimento serão capazes de medir o tempo com precisão maior que uma parte em ${10}^{16}$, ou seja, terão erro menor que ${10}^{-16}s$ a cada segundo. Qual é a altura h que produziria uma diferença de tempo $\Delta t={10}^{-16}s$ a cada $t_{Terra}=1,0s$? Essa altura é a menor diferença de altitude que poderia ser percebida comparando medidas de tempo desses relógios. Use, nesse caso, a energia potencial gravitacional de um corpo na vizinhança da superfície terrestre.