Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se $P^T=P^{-1}$, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.

1. a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato de que $P^{-1}P=I$, em que $I$ é a matriz identidade. $$P=\left[\begin{array}{ccc}& & \\ -1/3& -2/3& -2/3\\ -2/3& a& -/3\\ -2/3& b& 2/3\end{array}\right]$$
   

2. b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma $A=QR$, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema $Ax=B$, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que $x=A^{-1}B$. $$Q=\left[\begin{array}{ccc}& & \\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 0\end{array}\right],R=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0\end{array}\right]$$