Um número complexo $z=x+iy,z\ne 0$, pode ser escrito na forma trigonométrica:

$$z=\left|z\right|(\cos \theta +i\cdot \mathrm{sen}\theta )\text{, onde}|z|=\sqrt{x^2+y^2}\cos \theta =\frac{x}{|z|}\text{e}\mathrm{sen}\theta =\frac{y}{|z|}.$$

Essa forma de representar os números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

$$\left|z\right|\left(\cos \theta +i\cdot \mathrm{sen}\theta \right){]}^k={\left|z\right|}^k(\cos k\theta +i\cdot \mathrm{sen}k\theta )$$

que é válida para todo $kϵZ$ . Use essas informações para:

1. a) Calcular $(\sqrt{3}+i{)}^{12}$
   

2. b) Sendo $z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcular o valor de $1+z+z^2+z^3+\cdots +z^{15}$.