Seja um triângulo $ABC$ com lados $a$, $b$ e $c$ opostos aos ângulos $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$, respectivamente. Os lados $a$, $b$ e $c$ formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.