Uma corda intercepta o diâmetro de um círculo de centro $O$ no ponto $C^{\prime }$ segundo um ângulo de $45^{\prime }$. Sejam $A$ e $B$ os pontos extremos desta corda, e a distância $A{C}^{\prime }$ igual a $\sqrt{3}+1cm$. O raio do círculo mede $2cm$, e $C$ é a  extremidade do diâmetro mais distante de $C^{\prime }$. O prolongamento do segmento $AO$ intercepta $BC$ em $A^{\prime }$. Calcule a razão em que $A^{\prime }$ divide $BC$.