Quatro corpos rígidos e homogêneos ($I,II,III\text{e}IV$) de massa específica ${\mu }_0$, todos com espessura a (profundidade em relação à figura), encontram-se em equilíbrio estático, com dimensões de seção reta representadas na figura. Os corpos $I,II\text{e}IV$ apresentam seção reta quadrada, sendo: o corpo $I$ apoiado em um plano inclinado sem atrito e sustentado por um fio ideal; o corpo $II$ apoiado no êmbolo menor de diâmetro $2a$ de uma prensa hidráulica que contém um líquido ideal; e o corpo $IV$ imerso em um tanque contendo dois líquidos de massa específica ${\mu }_1$ e ${\mu }_2$. O corpo $III$ apresenta seção reta em forma de $H$ e encontra-se pivotado exatamente no ponto correspondente ao seu centro de gravidade. Um sistema de molas ideais, comprimido de $x$, atua sobre o corpo $III$. O sistema de molas é composto por três molas idênticas de constante elástica $K_1$ associadas a outra mola de constante elástica $K_2$. No vértice superior direito do corpo $III$ encontra-se uma força proveniente de um cabo ideal associado a um conjunto de polias ideais que sustentam o corpo imerso em dois líquidos imiscíveis. A parte inferior direita do corpo $III$ se encontra imersa em um dos líquidos e a parte inferior esquerda está totalmente apoiada sobre o êmbolo maior de diâmetro $3a$ da prensa hidráulica. Determine o ângulo $\beta$ do plano inclinado em função das variáveis enunciadas, assumindo a condição de equilíbrio estático na geometria apresentada e a aceleração da gravidade como $g$.