Considere um tetraedro regular $ABCD$ e um plano $\pi$, oblíquo à base $ABC$. As arestas $DA$, $DB$ e $DC$, desse tetraedro são seccionadas, por este plano, nos pontos $E$, $F$ e $G$, respectivamente. O ponto $T$ é a interseção da altura do tetraedro, correspondente ao vértice $D$, com o plano $\pi$. Determine o valor de $DT$ sabendo que $\frac{1}{DE}+\frac{1}{DF}+\frac{1}{DG}=\frac{1}{\sqrt{6}}$.