Dados dois trinômios do segundo grau:$$\begin{gathered} y=a{x}^2+bx+c\text{(I)} \\ y=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }\text{(II)} \end{gathered}$$

Considere, sobre o eixo $Ox$, os pontos $A$ e $B$ cujas abscissas são as raízes do trinômio $\text{(I)}$ e $A_0$ e $B_0$ os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio $\text{(II)}$. Determine a relação que deve existir entre os coeficientes $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ de modo que $A^{\prime }{B}^{\prime }$ divida o segmento $AB$ harmonicamente.