[IME 1992] Seja f:[0,∞[→R) uma função contínua...

Seja $f : [0, \infty [\to R)$ uma função contínua tal que:

(1) $f (0) = 0$ .
(2) $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}, \forall x \in (0, \infty)$ .
(3) $lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ .

Pedem-se:

a) Os intervalos onde $f$ é crescente (respectivamente, decrescente).

b) Os intervalos onde o gráfico de $f$ é côncavo para cima (respectivamente, para baixo).

c) Onde ocorrem os pontos de máximo e mínimo absolutos e de inflexão?

Esboce o gráfico de $g$ .

Defina $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por: $$g(x) = \begin{cases} f(x)&, x \geq 0 \\ -f(-x)&, x < 0 \end{cases}$$