a) A partir do estudo da variação do sinal das funções

$f(x)=\ln (1+x)-x$ e $g(x)=\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2}$

deduza a relação

$x-\frac{x^2}{2}<\ln (1+x)<x,\forall x\in ]0,+\infty [$

b) Sendo $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, seja

$P(n)=(1+\frac{1}{n^2})\cdot (1+\frac{2}{n^2})\cdots (1+\frac{n-1}{n^2})$

Mostre que se $n\to \infty$, $P(n)$ admite um limite e calcule esse limite.