[IME 1990] Seja um segmento fixo OA de comprim...

06 IME 1990 - Matemática

Seja um segmento fixo $O A$ de comprimento $a$ e uma semirreta variável $O x$ tal que $A \hat{O} x = α$ , $α$ ângulo agudo, pertencente a um plano fixo $π$ . Seja a perpendicular ao plano $π$ em $A$ e seja $B$ pertencente a esta perpendicular tal que $A B = a$ . Seja $C$ o pé da perpendicular traçada de $B$ sobre $O x$ . Pedidos:

a) Qual a propriedade comum a todas as faces do tetraedro $O A BC$ ?

b) Calcule o comprimento das seis arestas de $O A BC$ em função de $a$ e $α$

c) Calcule o volume $v$ do tetraedro em função de $a$ e $α$

d) Determine $α$ de modo que $v = \frac{a ^{3} 3}{24}$ (existem dois valores)

e) Determine o volume comum aos dois sólidos encontrados no item anterior