[IME 1987] Num plano π tem-se um retângulo ABC...

07 IME 1987 - Matemática

Num plano $π$ tem-se um retângulo $A BC D$ de dimensões $A B = 2 a$ e $A D = a$ . Consideram-se a superfície prismática, cujas arestas são as retas perpendiculares a $π$ , passando por $A$ , $B$ , $C$ , $D$ e um ponto $C^{'}$ , sobre a aresta traçada por $C$ , tal que $C C^{'} = b$ . Seccionando-se esta superfície por um plano passando por $A C^{'}$ :

a) Mostre que é possível obter-se para seção plana um losango $A B^{'} C^{'} D^{'}$ , onde $B^{'}$ e $D^{'}$ são pontos das arestas que passam respectivamente por $B$ e $D$ .

b) Determine, em função de $a$ e $b$ , uma condição necessária e suficiente para que o losango esteja situado em um mesmo semiespaço em relação ao plano $π$ .

c) Calcule o volume do tronco de prisma $A BC D B^{'} C^{'} D^{'}$ , supondo satisfeitas as condições do item anterior.