[IME 1985] Dão-se um plano horizontal π, um de...

10 IME 1985 - Matemática

Dão-se um plano horizontal $π$ , um de seus pontos $O$ e a vertical em $O$ , $O V$ . A cada ponto $P$ de $π$ faz-se corresponder um ponto $P_{1}$ sobre a vertical em $P$ , tal que $\frac{P P _{1}}{OP} = k$ (constante). Com essa correspondência, $π$ transforma-se em uma superfície $(S)$ .

a) Deduza a natureza de $(S)$ , as seções de $(S)$ por planos passando por $O V$ e as seções de $(S)$ por planos perpendiculares a $O V$ ; identifique o plano tangente a $(S)$ em um ponto qualquer $P_{1}$ .

b) De um ponto $Q$ fixo sobre $O V$ tal que $OQ = h$ , traça-se uma perpendicular sobre $O P_{1}$ : considera-se a esfera $(E)$ de centro $Q$ e raio $QN$ . ( $N$ é o pé da perpendicular sobre $O P_{1}$ ). Determine a curva comum a $(E)$ e a $(S)$ e calcule o volume compreendido entre $(E)$ e $(S)$ .