$a)$ Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo tal que os dois pares de lados opostos não são paralelos; $AB$ encontra $CD$ em $E$ e $AD$ encontra $BC$ em $F$. Sejam $L,M$ e $N$ os pontos médios dos segmentos $AC,BD$ e $EF$, respectivamente. Prove que $L,M$ e $N$ são colineares.

$b)$ Dá-se um quadrilátero convexo inscritível em um círculo, cujos lados são cordas deste círculo e de comprimentos $a,b,c$ e $d$ e que se sucedem na ordem $a,b,c,d$.

1. Calcule, em função de $a,b,c,d$ os comprimentos das diagonais $x$ e $y$.

2. Permutando a ordem de sucessão das cordas, deduza, com auxílio de figuras, se as diagonais dos novos quadriláteros obtidos têm comprimentos diferentes de $x$ e de $y$.

3. Sabendo-se que a área de um quadrilátero inscritível é $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ e supondo que o quadrilátero, além de inscritível também é circunscritível, mostre que a fórmula de sua área reduz-se a $S=\sqrt{abcd}$.