$a)$ São dados dois círculos $C(O,r)$ e $C^{\prime }(O^{\prime },r^{\prime })$, um ponto fixo $A$ sobre $C$ e um ponto fixo $A^{\prime }$ sobre $C^{\prime }$. Traçam-se cordas paralelas $AB$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }$ nos círculos $C$ e $C^{\prime }$, respectivamente. Determine a direção destas cordas para que o produto $AB\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }$ seja máximo.

$b)$ Dá-se um triângulo $ABC$. De um ponto $P$ variável (e não pertencente às retas suportes dos lados do triângulo) traçam-se retas $PB$ e $PC$. Sejam $L$ e $M$ os pés das perpendiculares de $A$ a estas retas. Com a variação de $P$, o comprimento $LM$ também varia. Qual o comprimento máximo de $LM$?