[IME 1983] Uma pirâmide de vértice V e base AB...

08 IME 1983 - Matemática

Uma pirâmide de vértice $V$ e base $A BC D$ constituem a metade de um octaedro regular de aresta $a$ .

$a)$ Determine em função de $a$ , os raios das esferas medial (esfera que passa pelos pontos médios das arestas deste poliedro), circunscrita e inscrita.

$b)$ Marcam-se sobre $V A$ e $V B$ os segmentos $V A^{'} = V B^{'} = x$ ; marcam-se sobre $V C$ e $V D$ os segmentos $V C^{'} = V D^{'} = y$ ; Supõe-se que $x$ e $y$ variam sob a condição de $x + y = a$ . Determine $x$ e $y$ , em função de $a$ , de forma que a área do quadrilátero $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ seja igual a $\frac{a ^{2}}{4}$ .