[IME 1983] São dadas duas superfícies cônicas ...

06 IME 1983 - Matemática

São dadas duas superfícies cônicas de revolução, congruentes e de eixos paralelos. Seccionam-se essas duas superfícies por dois planos $π$ e $π^{'}$ perpendiculares ao eixo de revolução, passando cada qual pelo vértice de uma das superfícies. Designam-se por $(c)$ e $(c^{'})$ os cones resultantes situados entre os dois planos. Seja $h$ a distância entre $π$ e $π^{'}$ . Cortam-se $(c)$ e $(c^{'})$ por um terceiro plano $σ$ , paralelo a $π$ e $π^{'}$ , a uma distância variável $x$ de $π$ .

$a)$ Mostre que a soma dos perímetros das seções $(k)$ e $(k^{'})$ , determinadas por $σ$ em $(c)$ e $(c^{'})$ é constante.

$b)$ Determine $x$ de forma que a soma das áreas das duas seções $(k)$ e $(k^{'})$ seja igual ao produto de um número real $m$ pela área da base de um dos cones $(c)$ ou $(c^{'})$ . Entre que valores poderá variar $m$ ?