[IME 1982] Em um plano (π) dá-se uma circunfer...

06 IME 1982 - Matemática

Em um plano $(π)$ dá-se uma circunferência $(c)$ de centro $O$ e raio $r$ . Por um ponto $A$ pertencente a $(c)$ , tira-se a perpendicular a $(π)$ e marca-se $\overline{A V} = x$ , $V$ acima de $(π)$ .

a) Seja $\overline{B D}$ um diâmetro de $(c)$ : mostre que no tetraedro $V A B D$ os três pares de retas que ligam os meios das arestas opostas concorrem em um ponto, ponto esse que permanece fixo quando $B D$ gira em torno de $O$ .

b) Mostre que as arestas opostas de $V A B D$ são perpendiculares duas a duas.

c) Ache o lugar geométrico do pé da altura tirada de $V$ no triângulo $V B D$ , quando $\overline{B D}$ gira em torno de $O$ .

d) Determine o centro e o raio da esfera circunscrita ao tetraedro $V A B D$ em função de $r$ e $x$ .