[IME 1976] Considere duas retas reversas ortog...

07 IME 1976 - Matemática

Considere duas retas reversas ortogonais, $r_{1}$ e $r_{2}$ . $A_{1}$ é um ponto de $r_{1}$ , $A_{2}$ é um ponto de $r_{2}$ , $\overline{A_{1} A_{2}} = k$ é perpendicular comum a $r_{1}$ e $r_{2}$ .

Sejam e a esfera de diâmetro $\overline{A_{1} A_{2}}$ e $t$ uma reta tangente a $e$ em um ponto $M$ variável de $e$ , com a condição de $t$ encontrar $r_{1}$ em $P_{1}$ e $r_{2}$ em $P_{2}$ .

a) Sendo $\overline{A_{1} P_{1}} = x_{1}$ e $\overline{A_{2} P_{2}} = x_{2}$ , calcule o produto $x_{1} x_{2}$ em função de $k$ .

b) $π_{1}$ é o plano que contém $r_{1}$ e $A_{2}$ . $π_{2}$ é o plano que contém $r_{2}$ e $A_{1}$ . Calcule as distâncias de $M$ aos planos $π_{1}$ e $π_{2}$ , em função de $\overline{A_{1} P_{1}} = x_{1}$ e $\overline{A_{2} P_{2}} = x_{2}$ , especificando o lugar geométrico descrito pelo ponto $M$ .