A figura a seguir mostra um prisma em que uma seção reta é o triângulo retângulo isósceles $ABC$, no qual $\hat{A}=\frac{\pi }{2}$ e $\overline{AB}=b$.

A base superior do prisma é o triângulo equilátero $MNP$, de lado $a$. A base inferior do prisma é o triângulo $RST$, sendo $E$ o ponto médio de $\overline{RT}$ e sendo $\overline{SE}=b$, por construção. A menor distância entre as bases se encontra sobre a aresta $\overline{NS}=\overline{NA}+\overline{AS}$, sendo, por construção, $\overline{NA}=b$. O comprimento $\overline{AS}=d$ é escolhido de tal forma que o volume $V_1$, do semi-prisma superior $BACMNP$, seja igual ao volume $V_2$, do semiprisma inferior $BACRST$.

Calcule: