[IME 1974] Sejam ABCD e A′B′C′D′ dois quadrado...

10 IME 1974 - Matemática

Sejam $A BC D$ e $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ dois quadrados, de lado $a$ e centros $O$ e $O^{'}$ , situados em planos paralelos $π$ e $π^{'}$ distantes $d$ , sendo $O O^{'}$ perpendicular a ambos. Cada diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de cada quadrado aos $2$ vértices mais próximos do outro, obtêm-se, assim, triângulos que, com os dois quadrados, formam um sólido $S$ . Pedem-se:

a) Determinar $d$ em função de $a$ , de modo que os triângulos acima descritos sejam equiláteros.

b) Determinar $d$ em função de $a$ , de modo que exista uma esfera com centro no ponto médio de $O O^{'}$ e passando pelos pontos médios de todas as arestas de $S$ .