Seja $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que: $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}{\mathrm{sen}}^{2n}\frac{1}{k},& \text{ se }x\ne 0\\ 0,& \text{ se }x=0\end{array}$$

Calcule, caso exista, a primeira derivada de $x^{k}f(k)$ no ponto $x=0$, para $k$ inteiro e $k\ge 0$.