Uma pilha de esferas iguais é obtida dispondo-se as esferas em camadas sucessivas, de tal forma que a camada inferior forme um “quadrado” com $4n^2$ esferas, conforme é ilustrado pela figura, para $n=2$, e apoiando-se camadas sucessivas sobre a primeira, de tal modo que cada esfera de uma camada se apoie sobre quatro esferas da imediata abaixo. Sabendo-se que a expressão $A{n}^3+B{n}^2+Cn+D$ indica o número de esferas contidas nas $n$ primeiras camadas da pilha, determine os valores numéricos das constantes $A$, $B$, $C$ e $D$.