[IME 1959] Um cubo é dado pelo comprimento a d...

03 IME 1959 - Matemática

Um cubo é dado pelo comprimento $a$ de uma aresta; sejam $O$ e $O^{'}$ os centros de duas faces opostas $A BC D$ e $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ; sobre $O O^{'}$ e no sentido $O O^{'}$ , tomado como positivo, toma-se um ponto $S$ a uma distância $x$ de $O$ . O cubo e a pirâmide de vértice $S$ e base $A BC D$ têm uma porção comum constituída por um tronco de pirâmide cujo volume é $V$ . Pedem-se:

a) Estabelecer a expressão do volume $V$ em função de $x$ e $a$ , quando $S$ é tomado no exterior do cubo $(x > a)$ .

b) Mostrar que a fórmula estabelecida no item (a) é válida para $a /2 < x < a$ e representa volume do sólido comum ao cubo e à dupla pirâmide definida pela base $A BC D$ e o vértice $S$ .

c) Estabelecer a expressão do volume $V$ do sólido comum ao cubo e às pirâmides quando $0 < x < a /2$ .

d) Supondo o volume $V$ expresso por uma fração $a^{3} / n$ , discutir os valores de $n$ para as fórmulas estabelecidas.