[IME 1957] P é o vetor de posição de um ponto ...

03 IME 1957 - Matemática

P é o vetor de posição de um ponto $P (x; y)$ da curva $y = 2 x^{2} - x$

$\overline{P_{1}}$ é o vetor $\overline{P_{1}} = x f (y) \overline{i} + \frac{x ^{2}}{2} f (y) \overline{j}$ .
$\overline{i}$ e $\overline{j}$ são respectivamente os unitários dos eixos dos $x$ e dos $y$ . $\overline{d R} = d x \overline{i} + d y \overline{j}$ é a diferencial do vetor de posição.
Pedem-se:

a) Determinar a função $f (y)$ para que $\overline{P_{1}}$ seja o gradiente de alguma função escalar $F (x; y)$ .

b) Calcular, para esse valor de $\overline{P_{1}}$ , a integral $\int_{c} \overline{P_{1}} \overline{d P}$ ao longo da curva $y = sen x$ , no intervalo $0 \leq x \leq 4 π$ .

c) Sendo $\overline{V} = lim_{x \to 0} (\frac{P}{x})$ , determinar em que ponto a derivada $\frac{\partial P _{1}}{\partial y}$ é igual ao vetor $\overline{V}$ , tendo $\overline{P_{1}}$ o valor calculado em (a).