Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística:

a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mudaram para a marca 2;
b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mudaram para a marca 1.

Esses resultados podem ser expressos pela matriz $P=\left(p_{ij}\right)=\left(\begin{array}{cc}0,7& 0,2\\ 0,3& 0,8\end{array}\right)$, em que p_ij, $1\le i$, $j\le 2$, representa a probabilidade do consumidor da marca j consumir a marca i após um mês, supondo-se que tais probabilidades sejam mantidas constantes de um mês para o outro. Dessa forma, obtém-se a fórmula de recorrência X_{k + 1} = PX_k, $k\ge 0$, em que $X_k=\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ b_k\end{array}\right)$ representa a distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada detergente pesquisados; a_k e b_k representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido período.

Com base nessas informações, julgue o item.

Se $X_k=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$é tal que X_{k + 1} = X_k para algum k ≥ 0, então a = 0,4 e $\beta$ = 0,6.