Considere uma partícula $P_1$, de massa $m_1$, inicialmente em repouso. Em seguida, essa partícula é acelerada por uma força constante $\overrightarrow{F_1}$, durante um intervalo de tempo $\Delta t_1$. Após este intervalo de tempo, $P_1$ move-se livremente sem atrito por um plano, até colidir com uma partícula $P_2$, de massa $m_2=2m_1$. Após a colisão, $P_2$ sai em uma trajetória que faz um ângulo de $\theta =\frac{\pi }{6}rad$ com relação à trajetória inicial (pré-colisão) de $P_1$. Após um breve deslocamento, uma força constante $\overrightarrow{F_2}$, com direção contrária à da velocidade da partícula $P_2$, atua durante um intervalo de tempo $\Delta t_2=\sqrt{3}\Delta t_1$ até a parada total de $P_2$.

Sabendo que a colisão entre $P_1$ e $P_2$ é inelástica e resulta em uma perda de $25\%$ da energia mecânica do sistema, determine a magnitude da força $F_1$ em termos da magnitude de $F_2$