Conforme a figura, um veículo espacial, composto de um motor-foguete de massa $m_1$ e carga útil de massa $m_2$, é lançado verticalmente de um planeta esférico e homogêneo de massa $M$ e raio $R$. Após esgotar o combustível, o veículo permanece em voo vertical até atingir o repouso a uma distância $r$ do centro do planeta. Nesse instante um explosivo é acionado, separando a carga útil do motor-foguete e impulsionando-a verticalmente com velocidade mínima para escapar do campo gravitacional do planeta.

Desprezando forças dissipativas, a variação de massa associada à queima do combustível do foguete e efeitos de rotação do planeta, e sendo $G$ a constante de gravitação universal, determine