Suponha que a equação algébrica $$x^{11}+\sum _{n=1}^{10}{a}_n{x}^n+a_0=0$$tenha coeficientes reais $a_0,a_1,\dots ,a_{10}$ tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma $\beta +i{\gamma }_n$, em que $\beta$, ${\gamma }_n\in \mathbb{R}$ e os $n=1,2,\dots ,11$, formam uma progressão aritmética de razão real $\gamma \ne 0$. Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.

• I. Se $\beta =0$, então $a_0=0$

• II. Se $a_{10}=0$, então $\beta =0$

• III. Se $\beta =0$, então $a_1=0$