[UFF 2011] O índice de Theil, um indicador usa...

47 UFF 2011 - Matemática

O índice de Theil, um indicador usado para medir desigualdades econômicas de uma população, é definido por

$T = l n \frac{M _{A}}{M _{G}}$

sendo $M_{A} = \frac{1}{N} i = 1 \sum N x_{i} = \frac{x _{1} + x _{2} + ... + x _{N}}{N}$ e $M_{G} = N \prod_{i = 1}^{N} x_{i} = N x_{1} \cdot x_{2} \cdot ... \cdot x_{N}$ , respectivamente, as médias aritmética e geométrica das rendas $x_{1}$ , $x_{2}$ , ..., $x_{N}$ (consideradas todas positivas e medidas com uma mesma unidade monetária) de cada um dos $N$ indivíduos da população.

Com base nessas informações, assinale a afirmativa incorreta.

T = l n (M_{A}) - l n (M_{G})

l n = (\frac{M _{A}}{x _{i}}) \geq 0

para todo

x_{i} > 0, i = 1, ..., N .

\frac{x _{i}}{N} \leq M_{A}

para todo

i = 1, ..., N

x_{1} = x_{2} = ... = x_{N}

, então

T = 0

T = \frac{1}{N} i = 1 \sum N l n (\frac{M _{A}}{x _{i}}) = \frac{1}{N} (l n (\frac{M _{A}}{x _{i}}) + l n (\frac{M _{A}}{x _{2}}) + ... + l n (\frac{M _{A}}{x _{N}}))