Um conjunto de inteiros consecutivos é equilibrado se ele pode ser dividido em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos, de modo que:

1. a) os dois subconjuntos não tenham elementos em comum;
   

2. b) a soma dos elementos de um dos subconjuntos seja igual à soma dos elementos do outro;
   

3. c) a soma dos quadrados dos elementos de um dos subconjuntos seja igual à soma dos quadrados dos elementos do outro.
   

Por exemplo, o conjunto $\{$7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14$\}$ é equilibrado, pois podemos dividi-lo nos subconjuntos $\{$7, 10, 12, 13$\}$ e $\{$8, 9, 11, 14$\}$, e

7 + 10 + 12 + 13 = 8 + 9 + 11 + 14 $$72+102+122+132=82+92+112+142.$$

1. a) Verifique que o conjunto $\{$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$\}$ é equilibrado.
   

2. b) Mostre que qualquer conjunto de oito inteiros consecutivos é equilibrado.
   

3. c) Mostre que nenhum conjunto de quatro inteiros consecutivos é equilibrado.
   

4. d) Mostre que se o conjunto $\{$1, 2, 3, . . . , N - 1, N$\}$ é equilibrado, então qualquer conjunto de N números inteiros consecutivos é equilibrado.