O sistema de posicionamento global, mais conhecido pela sigla $GPS$ (Global Positioning System), é um sistema de navegação amplamente utilizado para auxiliar o deslocamento dos veículos, sejam eles terrestres sejam aquáticos. Entretanto, estar orientado em meio aos mares e oceanos nem sempre foi uma tarefa fácil. Entre os séculos $XIII$ e $XVIII$, a navegação astronômica teve um papel crucial na era das navegações de longa distância, principalmente no período da História chamado de ”As Grandes Navegações”. O conhecimento e o estudo das principais estrelas e as figuras celestes por elas formadas (constelações) são de vital importância para o desempenho das funções de Encarregado de Navegação.

No hemisférico sul, a constelação do Cruzeiro do Sul é uma das mais conhecidas tanto que figura como símbolo nacional por diversas nações meridionais, como é o caso da Bandeira Brasileira ode as cinco estrelas da constelação representam os estados de São Paulo (Alfa - $\alpha$), Rio de Janeiro (Beta - $\beta$), Bahia (Gama - $\gamma$), Minas Gerais (Delta - $\delta$) e Espírito Santo (Épsilon - $\epsilon$). Apesar de as estrelas estarem posicionadas a diferentes distâncias do nosso planeta $(Figura-1)$, para um observador na Terra elas aparentam estar posicionadas em um mesmo plano cósmico.

Considere um plano cósmico hipotético $\varphi$ $($Figura $2)$, no qual estão contidas as estrelas Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon e que são representadas, respectivamente pelos pontos $S,R,B,M$ e $E$. Qual é a distância entre as estrelas Delta e Gama, sabendo que as diagonais do quadrilátero $RBMS$ cruzam-se em um ângulo reto e que as distâncias entre Beta e Gama, Beta e Alfa, Alfa e Delta são, respectivamente, $51,75$, e $68$ anos-luz?