Seja $C=\left\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\right\}$ com $a_1\ge a_2\ge a_3\ge ...\ge a_n$, o conjunto das $n$ raízes da equação: $$\frac{1}{3}\cdot \frac{d}{dx}\left(x^3-4\right)+\frac{5}{{\left(x-2\right)}^{-1}}=-4\left(x+1\right)+4x$$

Determine o valor de $a_1^n+a_2^n+a_3^n+...+a_n^n$.