Q8 Matemática  (Francophone Mathematical Olympiad 2021)

Seja ${\mathbb{N}}_{\ge 1}$ o conjunto dos inteiros positivos. Encontre todas as funções $f:{\mathbb{N}}_{\ge 1}\to {\mathbb{N}}_{\ge 1}$ tais que, para todos os inteiros positivos $m$ e $n$: (a) $n=\left(f(2n)-f(n)\right)\left(2f(n)-f(2n)\right)$, (b)$f(m)f(n)-f(mn)=\left(f(2m)-f(m)\right)\left(2f(n)-f(2n)\right)+\left(f(2n)-f(n)\right)\left(2f(m)-f(2m)\right)$, (c) $mn$ divide $f(2m)-f(2n)$ se $m$ e $n$ são números primos ímpares distintos .