Q7 Matemática  (European Mathematical Cup 2020)

Seja $p$ um número primo. Troy e Abed estão jogando. Troy escreve um inteiro positivo $X$ no quadro e dá uma sequência $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de inteiros positivos para Abed. Abed agora faz uma sequência de movimentos. O movimento $n$-th é o seguinte: $$\text{ Substitui }Y\text{ atualmente escrito no quadro por }Y+a_n\text{ ou }Y\cdot a_n.$$Abed vence se em algum ponto o número no tabuleiro é um múltiplo de $p$. Determine se Abed pode vencer, independentemente das escolhas de Troy, se $a)p=10^9+7$; $b)p=10^9+9$. Observação: $10^9+7$ e $10^9+9$ são primos. Proposta por Ivan Novak