Q6 Matemática  (European Mathematical Cup 2020)

Sejam $n$ e $k$ inteiros positivos. Uma $n$-tupla $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ é chamada de permutação se todo número do conjunto $\{1,2,...,n\}$ ocorre nele exatamente uma vez. Para uma permutação $(p_1,p_2,...,p_n)$, definimos sua $k$-mutação como a $n$-tupla $$(p_1+p_{1+k},p_2+p_{2+k},...,p_n+p_{n+k}),$$onde os índices são obtidos módulo $n$. Encontre todos os pares $(n,k)$ tais que cada duas permutações distintas tenham $k$-mutações distintas. Observação: Por exemplo, quando $(n,k)=(4,2)$, a $2$-mutação de $(1,2,4,3)$ é $(1+4,2+3,4+1,3+2)=(5,5,5,5)$. Proposto por Borna Šimić