Q4 Matemática  (European Mathematical Cup 2019)

Seja $u$ um número racional positivo e $m$ um inteiro positivo. Defina uma sequência $q_1,q_2,q_3,\dots$ tal que $q_1=u$ e para $n⩾2$: $$\text{if }{q}_{n-1}=\frac{a}{b}\text{ para alguns inteiros positivos relativamente primos }a\text{ e }b,\text{ enta˜o }{q}_n=\frac{a+mb}{b+1}.$$Determine todos os inteiros positivos $m$ tais que a sequência $q_1,q_2,q_3,\dots$ é eventualmente periódica para qualquer número racional positivo $u$. Observação: Uma sequência $x_1,x_2,x_3,\dots$ é eventualmente periódica se houver inteiros positivos $c$ e $t$ tais que $x_n=x_{n+t}$ para todo $n⩾c$. Proposto por Petar Nizié-Nikolac