Q2 Matemática  (European Mathematical Cup 2019)

Seja $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ uma sequência definida recursivamente tal que $x_1=\sqrt{2}$ e $$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}\text{ para }n\in \mathbb{N}.$$Prove que a seguinte desigualdade é válida: $$\frac{x_1^2}{2x_1{x}_2-1}+\frac{x_2^2}{2x_2{x}_3-1}+\dots +\frac{x_{2018}^2}{2x_{2018}{x}_{2019}-1}+\frac{x_{2019}^2}{2x_{2019}{x}_{2020}-1}>\frac{2019^2}{x_{2019}^2+\frac{1}{x_{2019}^2}}.$$ Proposto por Ivan Novak