Q4 Matemática  (European Mathematical Cup 2015)

Seja $ABC$ um triângulo de ângulo agudo. Sejam $B^{\prime },A^{\prime }$ pontos sobre as mediatrizes de $AC,BC$ respectivamente tais que $B^{\prime }A\perp AB$ e $A^{\prime }B\perp AB$. Seja $P$ um ponto no segmento $AB$ e $O$ o circuncentro do triângulo $ABC$. Sejam $D,E$ pontos em $BC,AC$, respectivamente, tais que $DP\perp BO$ e $EP\perp AO$. Seja $O^{\prime }$ o circuncentro do triângulo $CDE$. Prove que $B^{\prime },A^{\prime }$ e $O^{\prime }$ são colineares. Steve Dinh