Q6 Matemática  (EGMO 2019)

Em um círculo, Alina desenha acordes de $2019$, cujos pontos finais são todos diferentes. Um ponto é considerado marcado se for $\text{(i)}$ um dos $4038$ extremos de um acorde; ou $\text{(ii)}$ um ponto de interseção de pelo menos duas cordas. Alina rotula cada ponto marcado. Dos $4038$ pontos que atendem ao critério $\text{(i)}$, Alina rotula $2019$ pontos com $0$ e os outros $2019$ pontos com $1$. Ela rotula cada ponto que atende ao critério $\text{(ii)}$ com um inteiro arbitrário (não necessariamente positivo). Ao longo de cada corda, Alina considera os segmentos que ligam dois pontos marcados consecutivos. (Um acorde com $k$ pontos marcados tem $k-1$ desses segmentos.) Ela rotula cada um desses segmentos em amarelo com a soma dos rótulos de suas duas extremidades e em azul com o valor absoluto de sua diferença. Alina descobre que os rótulos amarelos $N+1$ recebem cada valor $0,1,...,N$ exatamente uma vez. Mostre que pelo menos um rótulo azul é um múltiplo de $3$. (Uma corda é um segmento de linha que une dois pontos diferentes em um círculo.)