Q5 Matemática  (EGMO 2019)

Seja $n\ge 2$ um inteiro, e $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ sejam inteiros positivos. Mostre que existem inteiros positivos $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ satisfazendo as três condições a seguir: $\text{(A)}{a}_i\le b_i$ for $i=1,2,\cdots ,n;$ $\text{(B)}$ os restos de $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ na divisão por $n$ são diferentes aos pares; e $\text{(C)}$ $b_1+b_2+\cdots b_n\le n\left(\frac{n-1}{2}+\lfloor \frac{a_1+a_2+\cdots a_n}{n}\rfloor \right)$ (Aqui, $\lfloor x\rfloor$ denota a parte inteira do número real $x$, ou seja, o maior inteiro que não excede $x$.)