Q3 Matemática  (EGMO 2018)

Os concorrentes $n$ do EGMO são nomeados $C_1,C_2,\cdots C_n$. Após a competição, eles fazem fila em frente ao restaurante de acordo com as seguintes regras. O Júri escolhe a ordem inicial dos competidores na fila. A cada minuto, o Júri escolhe um inteiro $i$ com $1\le i\le n$. Se o competidor $C_i$ tiver pelo menos $i$ outros competidores à sua frente, ele paga um euro ao Júri e avança na fila exatamente $i$ posições. Se o concorrente $C_i$ tiver menos de $i$ outros concorrentes à sua frente, o restaurante abre e o processo termina. Provar que o processo não pode continuar indefinidamente, independentemente das escolhas do Júri. Determine para cada $n$ o número máximo de euros que o Júri pode recolher escolhendo astutamente a ordem inicial e a sequência de jogadas.