Q2 Matemática  (EGMO 2018)

Considere o conjunto $$A=\left\{1+\frac{1}{k}:k=1,2,3,4,\cdots \right\}.$$ Prove que todo inteiro $x\ge 2$ pode ser escrito como o produto de um ou mais elementos de $A$, que não são necessariamente diferentes. Para todo inteiro $x\ge 2$ seja $f(x)$ o inteiro mínimo tal que $x$ pode ser escrito como o produto de $f(x)$ elementos de $A$, que não são necessariamente diferentes. Prove que existem infinitos pares $(x,y)$ de inteiros com $x\ge 2$, $y\ge 2$ e $$f(xy)<f(x)+f(y).$$(Os pares $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ são diferentes se $x_1\ne x_2$ ou $y_1\ne y_2$).